불안감

시험에 있어서 실수라는 것은 투입 대비 산출을 0에 수렴하게 만드는 최악의 요인입니다. 저같은 경우 세무사 2차 시험에서 문제 하나를 20분 동안 낑낑대면서 풀었는데 잔실수로 인해 점수를 하나도 얻지 못했던 적도 있습니다. 모든 계산 과정에 조금씩 실수가 있어서 다 틀리게 되는 경우죠. 심지어 물음 구조상 소문항 1번을 틀리면 이어지는 소문항 3~4문제를 자동으로 틀리게 되는 그런 물음도 등장합니다.

우리가 시험문제를 풀 때 가장 어려움을 겪는 것 중에 하나가, 우리가 도출한 답이 정답인지 아닌지를 판단하기가 어렵다는 것입니다. 대부분의 수험생들은 항상 내 답이 맞을까 하는 불안감에 휩싸이게 됩니다. 실수를 하지 않았을까, 무언가 단서를 빼먹지 않았을까 하는 불안감입니다. 수험기간이 길어질수록 실수했을 때 치뤄야하는 대가는 점점 커지기 때문에 불안감도 점점 커지게 됩니다. 결국 불안감은 '내가 아는 것'과 '내가 시험에서 적어낸 것'이 일치하는지에 대한 불확실성에서 옵니다.

어떻게 보면 이런 현상은 논리적으로 모순적입니다. 실력이 상승하면 불안감이 줄어드는 것이 자연스럽습니다. 우매함의 봉우리나 더닝-크루거 효과를 언급할 필요도 없이, 우리의 경험상 확실히 무언가를 어설프게 배운 단계에서는 내가 뭘 모르는지조차 모르기 때문에 자신감이 높은 경향이 있습니다. 하지만 그런 단계를 지나고 우리의 약점을 개선해나가기 시작하면서부터는 자신감이 상승하는 것이 일반적입니다. 그러나 수험생으로서 우리는 왜 시간이 지날수록 점점 더 불안해지는 걸까요.

검증가능성

제가 3년이 넘는 수험기간 끝에 내린 결론은 '내 답이 맞는지 검증할 방법이 없다'는 것이었습니다. 내가 계산한 답이 148이라면 우리는 그 답을 적어냅니다. 그리고 적으면서도 불안해하죠. 정답은 아직 알 수 없으니까요. 정답이 149일수도 있고, 150일수도 있고, 550일수도 있습니다. 계산실수를 했거나 지문을 잘못 읽었거나 중요한 단서를 빠뜨렸을 수도 있습니다. 정답을 알기 전에 내 답이 오답인지 판단할 방법은 없을까요? '실제 정답이 뭔지도 모르는데 내 답이 맞는지 미리 판단하는 것은 불가능하다'고 결론내린다면 성급한 것입니다.

사실 우리는 누구나 이 방법을 알고 있습니다. 우리가 시험이 끝나고 답지를 제출하고 나면 어떻게 하나요? 옆에 있는 친구와 답을 맞춰봅니다. 혹은 수험생 카페에 들어가서 다른 사람들과 답을 맞춰보죠. 다른 사람들이 제출한 답은 149인데 내가 제출한 답은 148입니다. 누가 맞을까요? 실제 정답을 모른다면 판단할 수 없을까요? 그렇지 않습니다. '답이 148이 아니라 149인 이유는 A를 고려해야하기 때문이다'처럼 원인을 파악하고, 결국 149가 맞구나 혹은 이 경우에는 148이 맞다라는 토론이 진행됩니다. 보통 2차 시험을 치면 정답과 점수가 발표되기까지 3개월 이상 시간이 걸립니다. 하지만 신기하게도 시험이 끝나고 며칠만 지나면 거의 95% 이상 확실한 답안이 커뮤니티에 돌아다니고 있습니다. 서로 답안지를 비교해보고 오류들을 걸러낼 수 있기 때문입니다. 하지만 시험이 끝나고 오류를 발견했다고 한들 바꿀 수 있는 건 없습니다. 이미 제출한 답안지인 것이고, 시험을 치는 중간에 서로 검증해볼 수도 없으니까요.

시험장에서 시험을 치는 그 순간에는 왜 이런 검증 시스템을 사용할 수 없을까요? 당연히 시험을 치다가 옆사람에게 '답을 비교해보자'라고 한다면 시험장에 있는 모두를 당황시키게 됩니다. 문제는 '타인의 정답과 비교해야한다'는 전제조건에 있습니다. '내 답을 나 스스로의 답과 비교해보면 되지 않을까?'라는 게 수험 만 3년차의 저에게 들었던 생각입니다.

하지만 그럴려면 비교대상이 필요했습니다. 나의 답은 148인데, 비교할 수 있는 또다른 답이 필요했던 거죠. 여기서 문제를 그대로 한번 더 푸는 걸로는 부족합니다. 그냥 방금 했던 과정을 한번 더 반복하는 것에 불과하거든요. A라는 계산법에 실수가 있다고 하더라도 그걸 A를 한번 더 반복하면서 발견하기란 쉽지 않습니다. 우리가 다른 사람과 정답을 비교하는 이유가 여기에 있는거죠. 내가 가진 지식과 다른 사람이 가진 지식은 다르기 때문에 서로 차이가 나는 부분을 발견할 수 있으니까요. 하지만 나와 완전히 똑같은 지식을 가진 사람과 비교한다면 우리는 그다지 유용한 정보를 얻지 못합니다.

독립된 풀이법

여기서 우리는 가장 중요한 아이디어에 도달하게 됩니다. '내가 혼자서 똑같은 방식을 반복하는 것이 유용하지 못하다면, 완전히 다른 방식을 이용해서 풀면 되는 거 아닌가?' 기존에 A라는 방법으로 정답을 도출했다면, 이번에는 다른 논리를 사용하는 B라는 방법을 사용하면 되지 않을까라는 겁니다. 그리고 A로 푼 답과 B로 푼 답을 서로 비교해보면, 어느 정도는 '다른 사람의 정답'과 비교하는 것과 유사한 효과를 얻을 수 있는 거죠. 저에게 이런 깨달음은 사실 혁신적이었습니다. '풀이법을 2개 이상 만들내면 답을 제출하기 전에 내 답이 맞는지 틀렸는지 어느정도 알 수 있는거잖아?' 지금까지 불안감의 원인은 내 답이 맞는지 알 수 있는 방법이 없다는 것이었고, 그걸 해소하는 방법은 항상 시험이 끝난 후 다른 사람의 답과 비교해보는 것이었죠. 하지만 이제는 답안지를 제출하기 전에 스스로 답을 비교해볼 수 있는 수단이 생긴 것입니다. 이건 마치 시험이 끝나고 다른 사람과 답을 비교해본 다음에, 나 혼자 이미 제출한 답안지를 고칠 수 있는 특권같은 것이었죠.

이런 독립된 풀이법은 우리가 모르는 완전히 새로운 개념은 아닙니다. 이미 무의식적으로 사용하고 있는 방법이거든요. 한 가지 쉬운 예시를 들어보겠습니다. 우리가 "다음 보기 중 옳은 것을 골라라"라는 객관식 문제를 푼다고 가정했을 때, 우리가 도출한 답은 1번입니다. 이 결론은 그냥 1번 보기만 읽어봐도 내릴 수 있는 결론입니다. 여기서 우리 선택지는 2가지입니다. 첫번째, 보기 1번이 확실히 답이니까 나머지 보기는 보지 않고 곧바로 다음 문제로 넘어가는 것. 두번째, 1번이 정답이긴 하지만 보기 2, 3, 4, 5번이 틀린 지문인지 한번 더 검증해보는 것. 이 두번째 방법은 마치 '1번이 맞다'고 주장하는 사람(A)과 '2, 3, 4, 5번이 틀렸다'라고 주장하는 사람(B)이 만나서 답안지를 비교해보는 것과 같습니다. 그런데 여기서 B가 '2, 3, 4번은 틀렸지만 5번은 맞는 지문이다'라고 말한다면 어떨까요? A와 B는 모순을 마주하게 되고 토론을 시작합니다. '그럼 1번과 5번 중 하나는 틀렸다는 건데 어디가 틀린거지? 어디에서 오류가 발생한거지?' 그럼 기존에 놓쳤던 부분을 탐색하기 시작하고, 새로운 가능성들을 검토하기 시작합니다. A와 B가 서로 만나지 않았다면 스스로 그런 검토를 하기는 어려웠을 겁니다.

여기서 우리가 객관식을 풀 때 스스로 하는 과정을 한번 더 깊게 생각해볼 수 있습니다. 1번과 5번 중에 헷갈리는 상황에서 우리는 어떻게 정답을 판단할까요? 첫번째로는, 모순을 검토해보면서 우리가 놓친 실수를 발견했다면 문제가 해결됩니다. 예를 들어 1번에서 특정 단어를 잘못 읽었거나 미처 해석하지 못한 단서가 있다면 우리는 1번을 소각하고 5번을 선택하게 됩니다. 하지만 둘 다에서 아무런 문제도 찾지 못했다면 어떻게 결정할까요? 우리는 '좀 더 확실해보이는 것'을 선택하게 됩니다. '1번도 맞고 5번도 맞다. 하지만 5번은 절대로 틀릴 수가 없다. 왜 1번이 틀렸는지는 모르겠지만 답은 무조건 5번이다.' 같은 식으로요. 이건 마치 A라는 사람과 B라는 사람이 만났을 때, B라는 사람이 항상 실력이 더 우월했기 때문에 B가 맞는 것 같다고 판단하는 것과 같습니다.

우리가 검증을 통해 모순을 발견하고 나면, 오류를 찾아내든 찾아내지 못하든 간에 우리는 유용함을 얻게 됩니다. 오류를 찾아낸다면 그걸 고쳐서 확실하게 답을 만들 수 있고, 찾아내지 못했다면 둘 중 조금 더 확실한 방향으로 선택하게 됩니다.

주관식 계산문제에서의 적용

이런 방법은 객관식보다 주관식 문제에서 더 큰 효과를 발휘합니다. 왜냐하면 객관식은 애초부터 비교할 수 있는 선지가 주어지지만 주관식은 그렇지 않기 때문입니다. 그래서 타인의 답과 비교해야하는 필요성과 유용성이 더 커집니다.

예를 들어 재무회계에서 매출원가를 구하라는 문제가 나오면 우리는 다음과 같은 과정을 거칩니다.

매출원가를 구성하고 있는 각 요소들을 파악한다.
각 요소들을 따로따로 계산한다.
계산된 요소들을 모두 더해서 매출원가를 구한다.

이렇게 우리는 정확하게 정답을 도출하게 됩니다. 보통 강의와 교재에서는 이런 방식으로 문제를 풀고, 내가 제대로 이해하고 풀었는지 확인한 후에 다음 문제로 넘어가게 됩니다. A라는 풀이법 하나만 검토하는 것이죠. 문제는 앞서 말했듯이 이런 식의 검토는 나의 오류를 내가 직접 검토하는 것이기 때문에 이미 저지른 오류를 파악하기가 어렵다는 것입니다.

우리는 이걸 검산이라는 개념으로 부릅니다. 사실 우리가 상식적으로 생각하는 검산은 우리가 계산한 과정을 한번 더 따라가면서 계산에 틀린 것이 있는지를 파악하는 과정입니다. 계산에 실수가 있는지, 숫자를 잘못 본 것이 있는지 검토하는 것입니다. 하지만 접근방법 혹은 전제조건 자체가 잘못되었다면, 그 과정에서 사용된 모든 계산이 올바르다고 할지라도 답은 틀릴 수밖에 없습니다. 논리적으로 오답인 것이죠. 사실 오답이 비논리적인 과정으로 도출되었다면 검산으로 오류를 발견할 수 있습니다. 하지만 과정 자체가 논리적이라면, 동일한 시스템 내에서는 구조적으로 발견할 수가 없는 것입니다.

그래서 A라는 방법과는 독립적인 B라는 풀이법이 필요해집니다.

매출원가를 구하는 방법은 두 가지로 정의를 할 수가 있습니다. 하나는 앞서 본 것처럼 매출원가를 구성하고 있는 각 요소들을 모두 구한 다음에 합하는 겁니다. 이 방법은 객관식 문제에서 '1번이 정답이다'라고 판단하는 과정입니다. 이제는 '2, 3, 4, 5번이 오답이다'라고 판단하는 과정이 필요합니다. 매출원가를 구한다면 다음과 같은 과정이 필요합니다.

매출원가가 포함하고 있는 더 큰 집합을 구한다. (집합C)
매출원가가 아닌 부분들을 구한다. (집합D)
C에서 D를 뺀다.

그러면 매출원가만 남게 되는 거죠. 이 방법을 B라고 부른다면, 이렇게 구한 값이 A로 구한 값과 동일한지 비교해보아야 합니다. 즉, 개별적인 값들을 구해서 더한 정답과 전체에서 나머지를 뺀 정답이 서로 다르다면 모순이 발생하게 되는 것입니다. 앞서 말했듯이, 모순을 발견했다면 우리는 오류를 발견하든 발견하지 못하든 상관없이 유용함을 얻을 수 있습니다. 여기서 핵심은 방법A와 방법B가 서로 독립적이어야 한다는 것입니다. 방법A에서는 매출원가의 구성요소를 계산했습니다. 하지만 방법B에서는 각 구성요소를 전혀 계산하지 않았고, 방법A에서 검토하지 않았던 '매출원가가 아닌 구성요소'를 계산하는 방식으로 접근했죠. 그래서 이 2가지 방법은 서로 독립적이고, 순환논리가 아니게 됩니다. 정답을 비교하는 두 사람이 서로 다른 지식과 실력을 가져야하는 것과 같습니다.

두 답이 일치하면 정답인가?

이 방법으로 내 답의 모순이 발견될 수도 있지만, 두 답이 일치해서 발견되지 않는 경우도 있습니다. 하지만 그렇다고 해서 정답이라는 의미는 아닙니다. A 풀이법으로 푼 답과 B 풀이법으로 푼 답이 일치하더라도 둘 다 틀린 답일 수 있는거죠.

하지만 잘 생각해보면, A방법으로 도출한 결론과 B방법으로 도출한 결론이 정확하게 일치하면서 둘 다 오답인 경우는 매우 드뭅니다. 서로 독립적인, 완전히 다른 방식으로 접근했기 때문입니다. 엔트로피 법칙을 생각해보면, 정답을 도출하는 과정은 엄청난 질서를 만들어내는 과정입니다. 이 질서는 만들어지기 어려운 것이죠. 그런데 이 질서가 우연히 2번이나 만들어진다는 것은 마치 공중으로 던진 물병이 2번 연속으로 바닥에 바로서는 것과 같은 겁니다. 불가능한 것은 아니지만 확률적으로 드물다는 것이죠.

물론 이런 경우는 있을 수 있습니다. 우리가 특정한 개념을 완전히 잘못 알고 있어서, 그 잘못된 개념을 일관되게 적용하는 경우에 A와 B에서 일관된 오답을 도출해낼 수 있습니다. 하나의 문제를 푸는 방법이라는 것이 100% 독립적일 수는 없기 때문에, 그 공통된 전제조건이 틀렸다면 공통된 오답에 도달할 수도 있습니다. 이런 경우에는 굳이 검증의 가치를 논할 필요가 없습니다. 검증이라는 건 올바른 길로 가는 도중에 생기는 실수 같은 것들을 방지하기 위한 것이지, 애초에 전제조건이 틀린 경우 도움을 줄 수 있는 것은 아니니까요. 이런 경우에는 완전히 독립된 전제조건을 사용하는 검증을 도입해야만 하는데, 그게 항상 가능한 것은 아닙니다. 그런 경우에도 또다시 공통된 전제조건이 문제가 될 수 있습니다.

결론적으로 말하자면, A와 B 각각 독립적인 방법으로 문제를 풀었을 때 2개의 답이 일치한다면 '적어도 내가 아는 선에서는' 오류가 없습니다. 둘 다 정답이거나 둘 다 오답입니다. 공통된 전제조건이 옳다면 둘 다 정답이고, 전제조건이 틀렸다면 둘 다 오답입니다. 만약 내가 옳다고 생각한 두 가지 방법의 결론이 다르다면, 둘 중에 한 가지 방법에는 모순이 있는 것입니다.

언제 사용하면 좋은가: 평소 공부와 시험장

하지만 시험장에서 매번 이렇게 두 번씩 문제를 푼다는 건 현실적으로 불가능합니다. 이 방법은 시험장보다 평소에 공부할 때 더 유용하게 사용될 수 있습니다. 왜냐하면 학습이란 모르는 것을 아는 것으로 바꾸고, 이미 아는 것에서 오류나 실수, 잘못된 가정들을 파악하고 고쳐나가는 작업입니다. 이 과정에서 모순을 파악하는 데 초점을 맞추는 것은 굉장한 도움이 됩니다. 사실 모순을 파악하지 않고서 우리의 실수를 교정할 수 있는 방법은 없습니다.

그렇다고 해서 시험장에서 완전히 쓸모가 없는 것은 아닙니다. 애초에 이런 방법을 도입했던 이유가 시험장에서 문제를 맞추기 위함이니까요. 시험장에서는 크게 두 가지 상황에서 도움이 됩니다.

첫째, A로 푸는 것과 B로 푸는 것이 결론은 동일하지만 난이도가 다른 경우입니다. 매출원가의 예시에서, 개별적인 요소들을 구하는 것이 굉장히 어렵고 까다로운 경우, 전체 집합과 매출원가가 아닌 부분을 간단하게 구할 수 있는지 검토해볼 수 있습니다. 이 방법이 가능하다면 그리고 더 쉬워보인다면 풀이방향을 바꿀 수 있습니다.

둘째, 앞에서 언급했던 소문항 1번을 틀리면 뒷부분이 줄줄이 틀리는 문제의 경우 큰 도움이 됩니다. 그런 경우에는 소물음 1번을 정확하게 풀이하는 것이 중요합니다. 이때 두 가지 이상의 독립된 검증해서 내가 푼 답에 대한 확신을 가지는 게 좋겠죠. 문제를 효율적으로 빠르게 풀기 위해서, 문제를 정확하게 검증하기 위해서, 그리고 평소에 학습하는 과정에서 모순을 발견하기 위해서 독립된 여러가지 풀이법으로 연습을 하는 것은 큰 도움이 됩니다.

구체적인 틀: Top-Down과 Bottom-Up

우리가 사용할 수 있는 몇 가지 틀은 정해져 있습니다. 모든 문제해결의 접근과정은 두 가지로 나뉩니다. 위에서 아래로 접근하는 방법(Top-Down)과 아래에서 위로 접근하는 방법(Bottom-Up)이 있습니다. Top-Down 방법은 전체에서 부분으로 접근하는 것이고, Bottom-Up은 부분에서 출발해서 전체로 넓혀나가는 방법입니다.

매출원가의 구성요소 각각을 먼저 구하는 방법은 Bottom-Up이라고 말할 수가 있겠죠. 반대로 재무상태표나 손익계산서를 먼저 그린 다음에 매출원가가 아닌 항목들을 차감해서 나머지로 매출원가를 구한다면, 그건 Top-Down 방법이 되는 겁니다. 제 경험상 Bottom-Up 방법보다 Top-Down 방법이 전체 숲을 보기 훨씬 더 유리하기 때문에 더 우월합니다. 어느 분야이든 간에 실력이 낮은 사람은 항상 나무를 보되 숲을 보지 못합니다. 우리가 강의에서 듣거나 문제집으로 연습을 하는 방식은 나무를 보는 연습이기 때문에 의식적으로 Top-Down 방식을 많이 연습할 필요가 있습니다.

결론

실수와 오류를 줄이기 위해서는 검증가능성을 확보해야한다.
이를 위해서는 다양한 관점에서 접근해야한다.
독립된 방식들의 결론이 일치한다면 정답일 가능성이 높다.
독립된 방식들의 결론에 모순이 있다면 오류가 있다.
학습의 목표는 스스로 갖고 있는 모순과 오류를 제거하는 것이다.
이를 위해서는 Top-Down 방식과 Bottom-Up 방식을 동시에 사용해야한다. (특히 Top-Down)
시험장에서 타임어택의 경우, 독립된 풀이법 중 가장 효율적인 1가지를 선택한다.
시험장에서 틀리면 안되는 문제의 경우, 독립된 풀이법을 동시에 사용해서 검증한다.

이런 방법론을 적용할 때 유용하게 사용했던 도구가 Anki라는 플래시카드 앱입니다. 모든 학습에서 필수적인 '반복훈련'을 효과적으로 수행할 수 있습니다.

p.s. 사실 이 아이디어는 제약이론으로 유명한 Eliyahu M. Goldratt이라는 물리학자의 The Choice라는 책에서 가져온 아이디어입니다. 모순을 발견하고 그 모순을 해결하는 것이 명료한 사고(Clear Thinking)의 핵심이라는 내용입니다. 관심 있으신 분들은 책을 한번 읽어보시길 권합니다.